В мире теории графов двудольные графы играют значительную роль. Двудольный граф – это неориентированный граф, в котором его узлы могут быть разделены на два набора, и ребра существуют только между этими двумя наборами. В этой статье мы рассмотрим концепцию идеального сопоставления в двудольных графах и как его можно реализовать с помощью SQL Server.
Понимание двудольных графов
Прежде чем погрузиться в идеальное сопоставление, давайте сначала разберемся, что такое двудольные графы. Двудольный граф состоит из двух наборов узлов, часто называемых левыми и правыми узлами. Ребра в графе соединяют только узлы из разных наборов. Например, рассмотрим следующий двудольный граф:
Что такое идеальное сопоставление?
В двудольном графе идеальное сопоставление – это набор ребер, которые не имеют общих узлов и для каждого узла существует ребро в этом наборе. Цель состоит в том, чтобы найти идеальное сопоставление в заданном двудольном графе или определить, что оно невозможно.
Алгоритм
Скрипт, представленный в этой статье, реализует популярный алгоритм поиска идеального сопоставления в двудольных графах. Алгоритм работает следующим образом: сначала случайным образом выбираются как можно больше непересекающихся ребер, пока больше не удается найти. Затем он повторно изменяет набор ребер, пока он не покрывает все узлы или не показывает, что идеальное сопоставление невозможно.
Алгоритм следует этим шагам:
- Примените жадный алгоритм, чтобы получить частичное сопоставление.
- Если частичное сопоставление не удается сопоставить хотя бы половину всех узлов, вернитесь с ошибкой.
- Если сопоставление идеально, вернитесь с результатом.
- Вызовите инициализацию S.
- Пока 1 = 1:
- Вызовите увеличение M повторно, пока увеличение не удастся.
- Если увеличение успешно:
- Если сопоставление теперь идеально, вернитесь с результатом.
- Вызовите инициализацию S.
- Вызовите расширение S, так как увеличение M только что не удалось.
- Если не удалось расширить S, идеальное сопоставление невозможно, поэтому вернитесь с ошибкой.
Реализация алгоритма в SQL Server
Алгоритм можно реализовать в SQL Server с использованием хранимых процедур. Скрипт вызывает четыре хранимые процедуры: spGreedy, spInitializeS, spExpandM и spExpandS. Эти хранимые процедуры обрабатывают различные аспекты алгоритма, такие как применение жадного алгоритма, инициализация наборов, расширение сопоставления и расширение наборов.
Вот пример того, как работает хранимая процедура spExpandM:
ALTER PROCEDURE [dbo].[spExpandM]
AS
BEGIN
-- Код для spExpandM здесь
END
Остальные хранимые процедуры имеют аналогичную структуру, каждая обрабатывает определенную часть алгоритма.
Тестирование алгоритма
Для тестирования алгоритма вы можете использовать предоставленный тестовый скрипт. Скрипт случайным образом генерирует двудольный граф с указанным количеством левых узлов и вероятностью создания ребра. Затем он применяет алгоритм для поиска идеального сопоставления.
Вот пример использования тестового скрипта:
-- Объявления
DECLARE @Result int
-- Отключение подсчета
SET NOCOUNT ON
-- Построение случайного двудольного графа с выбранным количеством левых узлов
-- и вероятностью создания ребра.
EXEC @Result = spBuildBipartite 10, 0.25
IF @Result <> 1 RETURN
-- Применение алгоритма для поиска идеального сопоставления
EXEC @Result = spFindPerfectMatching
IF @Result <> 1 RETURN
Тестовый скрипт генерирует случайный двудольный граф, а затем применяет алгоритм для поиска идеального сопоставления. Вы можете настроить количество левых узлов и вероятность создания ребра, чтобы исследовать различные сценарии.
Заключение
В этой статье мы рассмотрели концепцию идеального сопоставления в двудольных графах и как его можно реализовать с помощью SQL Server. Предоставленный алгоритм и хранимые процедуры предлагают способ нахождения идеального сопоставления в двудольных графах или определения его невозможности. Понимая и реализуя эти концепции, вы можете решать различные проблемы, связанные с двудольными графами, с использованием SQL Server.
Ссылки:
- Теория графов
- Дискретная математика от Ласло Ловаша
- <a href=”https://en.wikipedia.org/wiki/Hall%